C.T.A

ANALISIS VECTORIAL

VECTOR:

 Es aquel elemento matemático, indicado por un segmento de recta orientado, que nos permite representar gráficamente a una magnitud física vectorial.
ELEMENTOS DE UN VECTOR:

Dirección: Es la recta que contiene el vector. Se define por el ángulo  medido positivamente en sentido anti horario.

Sentido: Es la característica del vector que nos indica hacía donde se dirige. Se le representa por una saeta, o, sagita.

Módulo: Llamado también intensidad, viene a ser el valor o medida de la magnitud vectorial.

                                          

TIPOS DE VECTORES:


Vectores Colineales: Dos vectores  son colineales cuando tienen la misma dirección, es decir que son vectores directores de rectas paralelas.

Vectores Concurrentes:  Cuando la dirección de los vectores  se cruza en algún punto.

                                          

Vectores Paralelos: Es aquel que tiene la misma dirección de otro vector aunque no necesariamente el mismo sentido ni la misma magnitud.

                                                     

Vector Resultante: Es el resultado vectorial de la operación que tu realices a dos vectores, me explico, si tu sumas o restas dos vectores, el resultado de esto, es un "vector resultante".

                                      

OPERACIONES CON VECTORES:

SUMA DE VECTORES O VECTOR RESULTANTE

                                

Para vectores coplanares y concurrentes que forman un ángulo entre si:

• Método del paralelogramo
• Método del triangulo
• Método del polígono

Analicemos cada uno de estos métodos:

                                

                                  

                                          

                                     

                                    

                                       

                                     

                                         

                                          

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

Para poder operar analíticamente con vectores (por ejemplo hacer sumas y restas) es apropiado previamente hacer una descomposición, en componentes paralelas a los ejes de un sistema de referencia, SR. El mejor modo de explicar qué significa todo esto es mostrar cómo se hace, paso a paso.

EJERCICIOS:

Hallar las componentes de un vector de 10 unidades según dos direcciones que forman un ángulo de 70º si el vector forma con una de ellas un ángulo de 40º.

Recordemos un poco de la teoría de descomposición de vectores:

De acuerdo con esta teoría grafiquemos nuestro ejercicio:

Del gráfico podemos ver que lo que nos piden es un cambio de base en R².

Consideremos nuestra nueva base en R² la cual sigue las direcciones que forman un ángulo de 70º, entonces debemos tomar vectores unitarios que cumplan lo siguiente:

Para simplificar las operaciones hacemos coincidir una de las direcciones de la nueva base con el eje x, por lo tanto el vector unitario en esa dirección de la nueva base será:

                                          

El vector unitario en la otra dirección de la nueva base es:

                                          

El vector de 10 unidades en el sistema cartesiano tendrá como componentes:

                                           

Para calcular las componentes en la base dada se tiene que cumplir:

                                           

(7,66 , 6,428) = (r) (1, 0) + (t) (0,342 , 0,9397) … I

(7,66 , 6,428) = (r , 0) + (0,342 t , 0,9397 t)

(7,66 , 6,428) = (r + 0,342 t , 0 + 0,9397 t)

Ahora procedemos ha hallar los valores de r y t

Para t:

6,428 = 0 + 0,9397 t

t = 6,84

Para r:

7,66 = r + 0,342 t

7,66 = r + (0,342)(6,84)

7,66 = r + 2.34

r = 5,32

Por lo tanto las componentes del vector en la base dada serán:

                                          

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Un movimiento es rectilíneo cuando un móvil describe una trayectoria recta, y es uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, dado que su aceleración es nula. Nos referimos a él mediante el acrónimo MRU.

• Movimiento que se realiza sobre una línea recta.
• Velocidad constante; implica magnitud y dirección constantes.
• La magnitud de la velocidad recibe el nombre de celeridad o rapidez.
• Aceleración nula.

                                                          

PROPIEDADES Y CARACTERÍSTICAS:

La distancia recorrida se calcula multiplicando la magnitud de la velocidado rapidez por el tiempo transcurrido. Esta relación también es aplicable si la trayectoria no es rectilínea, con tal que la rapidez o módulo de la velocidad sea constante.

Por lo tanto el movimiento puede considerarse en dos sentidos; una velocidad negativa representa un movimiento en dirección contraria al sentido que convencionalmente hayamos adoptado como positivo.

De acuerdo con la Primera Ley de Newton, toda partícula permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme cuando no hay una fuerza externa que actúe sobre el cuerpo, dado que las fuerzas actuales están en equilibrio, por lo cual su estado es de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme. Esta es una situación ideal, ya que siempre existen fuerzas que tienden a alterar el movimiento de las partículas, por lo que en el movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U) es difícil encontrar la fuerza amplificada.

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO:

Sabemos que la velocidad  es constante; esto significa que no existe aceleración.

La posición  en cualquier instante  viene dada por

.

Para una posición inicial  y un tiempo inicial , ambos distintos de cero, la posición para cualquier tiempo está dada por

APLICACIONES:

En astronomía, el MRU es muy utilizado. Los planetas y las estrellas no se mueven en línea recta, pero la que sí se mueve en línea recta es la luz, y siempre a la misma velocidad.

Entonces, sabiendo la distancia a la que se encuentra un objeto, se puede saber el tiempo que tarda la luz en recorrer esa distancia. Por ejemplo, el sol se encuentra a 150.000.000 km. La luz, por lo tanto, tarda 500 segundos (8 minutos 20 segundos) en llegar hasta la tierra. La realidad es un poco más compleja, con la relatividad de por medio, pero a grandes rasgos podemos decir que la luz sigue un movimiento rectilíneo uniforme.

EJERCICIOS:

1.- Un barco recorre la distancia que separa Gran Canaria de Tenerife (90 km) en 6 horas. ¿Cuál es la velocidad del barco en km/h? ¿Y en m/s?

Como la fórmula de la velocidad en el MRU es v = d/t, la velocidad del barco será:

v = d/t = 90/6 = 15 Km/h

Para pasar a metros por segundo, multiplicamos por 1000 (porque un kilómetro son 1000 metros) y 

dividimos entre 3600 (porque una hora son 3600 segundos):

15·1000/3600 = 4,17m/s

2.- ¿Cuánto tiempo tardaré en completar la distancia de una maratón (42 km) si corro a una 

velocidad media de 15 km/h?

Igual que el anterior, solo que en esta ocasión la incógnita es el tiempo en lugar de la velocidad:

v = d/t

15 = 42/t

t = 42/15 = 2,8 horas

3.- Un avión vuela a una velocidad de 900 km/h. Si tarda en viajar desde Canarias hasta la 

península 2 horas y media, ¿qué distancia recorre en ese tiempo?

Igual que los anteriores, pero ahora la incógnita es la distancia. Recuerda que “dos horas y media” 

tenemos que indicarlo con una única cifra decimal que sería 2,5 horas:

v = d/t

900 = d/2,5

d = 900·2,5 = 2250Km

4.- El record del mundo de 100 metros lisos está de 9 segundos. ¿Cuál es la velocidad media del atleta? Exprésala en km/h.

Primero calcularemos su velocidad en metros por segundo:

v = d/t

v = 100/9 = 11'11m/s

Ahora pasaremos de metros por segundo a kilómetros por hora. La operación es la inversa a la del 

ejercicio 1, es decir, en este caso multiplicaremos por 3600 y dividiremos por 1000:

11,11m/2 · 3600/1000 = 40Km/h

5.-¿A cuántos m/s equivale la velocidad de un móvil que se desplaza a 72 km/h?

Desarrollo

Datos:

v = 72 km/h